在直角三角形ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于点F（如图1）．
在直角三角形ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于点F（如图1）．将△ABD沿BD折起，二面角A-BD-C的大小记...
在直角三角形ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于点F（如图1）． 将△ABD沿BD折起，二面角A-BD-C的大小记为θ（如图2）．（Ⅰ）求证：面AEF⊥面BCD；面AEF⊥面BAD；（Ⅱ）当cosθ为何值时，AB⊥CD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FB与平面BAD所成角的正弦值．
展开
展开全部
证明：（Ⅰ）在△ABC中，由∠ACB=30°，得AB＝| 1 |
| 2 |
由D为AC的中点，得BD＝
| 1 |
| 2 |
则BD⊥AE，BD⊥EF，
∴BD⊥面AEF，
又∵BD?面BCD，∴面AEF⊥面BCD．
同理面AEF⊥面BAD…
（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可得∠AEF为二面角A-BD-C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．
∵面AEF⊥面BCD，∴O在FE上，连BO交CD延长线于M，
当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，
∴O为翻折前的等边三角形△ABD的中心．
则OE＝
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
因此当cosθ＝?
| 1 |
| 3 |
（Ⅲ）过F作FG⊥AE交AE的延长线于G点，由（Ⅰ）面AEF⊥面BAD，则FG⊥面BAD
故∠FBG就是FA与平面BAD所成角
设AB=a，则AE＝
| ||
| 2 |
| ||
| 6 |
| ||
| 3 |
而cosθ＝?
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
故GF＝
| ||
| 6 |
2
|
