Question

已知抛物线y2=-x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当三角形OAB面积等于10时

已知抛物线y2=-x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当三角形OAB面积等于10时，求k的值．

Answer 1

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y＝k(x+1) y2＝?x

，∵k≠0，∴可化为y2+

1

k

y?1＝0，∴△＞0．
∴y1+y2＝?

1

k

，y₁y₂=-1．
∴

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=(

1

k

y1?1)(

1

k

y2?1)+y₁y₂=(

1

k2

+1)y1y2?

1

k

(y1+y2)+1=?(

1

k2

+1)+

1

k2

+1=0，
∴OA⊥OB．
（2）由（1）可得点O到直线AB的距离d=

|k|

1+k2

．
|AB|=

(1+ 1 k2 )[(y1+y2)2?4y1y2]

=

(1+ 1 k2 )[ 1 k2 ?4×(?1)]

=

(1+k2)(1+4k2)

k2

，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|?d=

1

2

?

(1+k2)(1+4k2)

k2

?

|k|

1+k2

=

1

2

?

1+4k2

|k|

＝

10

，
化为36k²=1．
解得k＝±

1

6

．