Question

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若A=2B，给出下列命题：①π6＜B＜π4；②ab∈（2

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若A=2B，给出下列命题：①π6＜B＜π4；②ab∈（2，3]；③a2=b2+bc．其中正确的个数是（　　）A．0B．1C．2D．3

Answer 1

∵锐角三角形ABC中，
∴0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，0＜C＜

π

2

；
∴

0＜B＜ π 2 0＜2B＜ π 2 0＜π?3B＜ π 2

解得

π

6

＜B＜

π

4

；
∵

a

b

＝

sinA

sinB

＝2cosB，
∵

π

6

＜B＜

π

4

；
∴

2

2

＜cosB＜

3

2

，
∴

2

＜2cosB＜

3

，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∵b²+c²-2bccosA-（b²+bc）
=c²-2bccosA-bc
=c（c-2bcosA-b）
=c2R（sinC-2sinBcosA-sinB）
=2Rc（sin3B-2sinBcos2B-sinB）
=2Rc（sinBcos2B+cosBsin2B-2sinBcos2B-sinB）
=2Rc（cosBsin2B-sinBcos2B-sinB）
=0
∴a²=b²+bc．
∴①③对．
故选：C．