设位于第一象限的曲线y=f（x）过点（22，12），其上任一点P（x，y）处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x
设位于第一象限的曲线y=f（x）过点（22，12），其上任一点P（x，y）处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．（1）求曲线y=f（x）的方程；（2）已知曲线y...
设位于第一象限的曲线y=f（x）过点（22，12），其上任一点P（x，y）处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．（1）求曲线 y=f（x）的方程；（2）已知曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f（x）的弧长s．
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简单计算一下即可，答案如图所示
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（1）设曲线y=f（x）在点P（x，y）处的法线方程为Y?y＝?
(X?x)，
其中（X，Y）为法线上任意一点的坐标．令X=0，则
Y＝y+
，
故Q点的坐标为(0，y+
)
由“线段PQ被x轴平分“知
(y+y+
)＝0，
即2ydy+xdx=0
积分得x2+2y2=C（C为常数）
由“曲线y=f（x）过点（
，
）“，知C=1，
故曲线y=f（x）的方程为
x2+2y2=1
（2）曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为
l＝
dx=2
dx
而曲线y=f（x）的参数方程为
| 1 |
| y′ |
其中（X，Y）为法线上任意一点的坐标．令X=0，则
Y＝y+
| x |
| y′ |
故Q点的坐标为(0，y+
| x |
| y′ |
由“线段PQ被x轴平分“知
| 1 |
| 2 |
| x |
| y′ |
即2ydy+xdx=0
积分得x2+2y2=C（C为常数）
由“曲线y=f（x）过点（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故曲线y=f（x）的方程为
x2+2y2=1
（2）曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为
l＝
| ∫ | π 0 |
| 1+cos2x |
| ∫ |
0 |
| 1+cos2x |
而曲线y=f（x）的参数方程为
|
