已知函数f(x)=xlnx,(1)求函数f(x)的单调区间和最小值.(2)若函数F(x)=f(x)?ax在[1,e]上的最

已知函数f(x)=xlnx,(1)求函数f(x)的单调区间和最小值.(2)若函数F(x)=f(x)?ax在[1,e]上的最小值为32,求a的值.... 已知函数f(x)=xlnx,(1)求函数f(x)的单调区间和最小值.(2)若函数F(x)=f(x)?ax在[1,e]上的最小值为32,求a的值. 展开
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小鱼愫娿槜Hdw
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解(本小题满分12分)
(1)∵f′(x)=lnx+1(x>0),
令f′(x)≥0,即lnx≥-1=lne-1
∴x≥e-1=
1
e
,∴x∈[
1
e
,+∞).
同理,令f′(x)≤0,可得x∈(0,
1
e
].
∴f(x)单调递增区间为[
1
e
,+∞),单调递减区间为(0,
1
e
],
由此可知y=f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e

(2)F′(x)=
x+a
x2

当a≥0时,F′(x)>0,F(x)在[1,e]上单调递增,
F(x)min=F(1)=-a=
3
2

∴a=-
3
2
?[0,+∞),舍去.
当a<0时,F(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增,
若a∈(-1,0),F(x)在[1,e]上单调递增,
F(x)min=F(1)=-a=
3
2

∴a=-
3
2
?(-1,0),舍去;
若a∈[-e,-1],F(x)在[1,-a]上单调递减,在[-a,e]上单调递增,
∴F(x)min=F(-a)=ln(-a)+1=
3
2

a=-
e
∈[-e,-1];
若a∈(-∞,-e),F(x)在[1,e]上单调递减,
F(x)min=F(e)=1-
a
e
3
2

∴a=-
e
2
?(-∞,-e),舍去.
综上所述:a=-
e
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