Question

证明恒等式arctanx+arccotx=π/2

Answer 1

令 α = arctan x, 则 cot (π/2 - α) = tan α = x

由于 α∈]-π/2, π/2[, 故 π/2 - α∈0, π

这样 arccot x = π/2 - α, 即 arctan x + arccot x = π/2

积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

Answer 2

令 α = arctan x, 则 cot (π/2 - α) = tan α = x

由于 α∈]-π/2, π/2[, 故 π/2 - α∈]0, π[

这样 arccot x = π/2 - α, 即 arctan x + arccot x = π/2