Question

已知函数f（x）=x 2 +2x+alnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）

已知函数f（x）=x 2 +2x+alnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞） ∵f（x）=x 2 +2x+alnx ∴ f ′ (x)= 2 x 2 +2x+a x （x＞0）， 设g（x）=2x 2 +2x+a，则g（x）= (x+ 1 2 ) 2 - 1 2 +a ， ∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调增函数， ∴g（0）≥0，或g（1）≤0， ∴a≥0，或2+2+a≤0， ∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤-4}． （2）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化为2t 2 -4t+2≥alnt 2 -aln（2t-1） ∴2t 2 -alnt 2 ≥2（2t-1）-aln（2t-1） 令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t 2 ）≥h（2t-1） ∵t≥1，∴t 2 ≥2t-1 要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可 即 g′(x)=2- a x ≥0 在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2 ∴实数a的取值范围是（-∞，2]．