Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0．（1）求f（1）和f

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0．（1）求f（1）和f（-1）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明．

Answer 1

（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1）
∴f（-1）=0
（2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1）
又f（-1）=0
∴f（-x）=f（x）
又∵f（x）不恒为0
∴f（x）为偶函数