Question

设a为实数，函数f（x）=x|x-a|，其中x∈R．（1）分别写出当a=0．a=2．a=-2时函数f（x）的单调区间；（2）

设a为实数，函数f（x）=x|x-a|，其中x∈R．（1）分别写出当a=0．a=2．a=-2时函数f（x）的单调区间；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x|x|= x 2     x≥0 - x 2   x＜0 ， f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；（2分） 当a=2时， f(x)= x 2 -2x x≥2 - x 2 +2x x＜2 f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（2，+∞）；f（x）的单调递减区间为（1，2） 当a=-2时， f(x)= x 2 +2x x≥-2 - x 2 -2x x＜-2 f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（-1，+∞）；f（x）的单调递减区间为（-2，-1） （2）当a=0时，f（x）=x|x|，所以f（x）为奇函数 因为定义域为R关于原点对称，且f（-x）=-x|-x|=-f（x） 所以f（x）为奇函数 当a≠0时，f（x）=x|x-a|为非奇非偶函数， f（a）=0，f（-a）=-a|2a|，所以f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a） 所以f（x）是非奇非偶函数．