Question

（2013?红桥区一模）已知抛物线F：y=ax2+bx+c的顶点为P．（Ⅰ）当a=1，b=-2，c=-3，求该抛物线与x轴公共

（2013?红桥区一模）已知抛物线F：y=ax2+bx+c的顶点为P．（Ⅰ）当a=1，b=-2，c=-3，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）设抛物线F：y=ax2+bx+c与y轴交于点A，过点P作PD⊥x轴于点D．平移该抛物线使其经过点A、D，得到抛物线F：y=a′x2+b′x+c′（如图所示）．若a、b、c满足了b2=2ac，求b：b′的值；（Ⅲ）若a=3，b=2，且当-1＜x＜1时，抛物线F与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1、b=-2、c=-3时
y=x²-2x-3
=（x-1）²-4，
当y=0时，（x-1）²-4=0，
（x-1）²=4
则x-1=2或x-1=-2
∴x₁=3，x₂=-1，
∴P（1，-4）与x轴的交点坐标（3，0）（-1，0）；

（Ⅱ）由题意可知A（0，c），P（?

b

2a

，

4ac?b2

4a

）
∴D（?

b

2a

，0）
∵平移得到y=a'x²+b'x+c'
∴a=a′，
∴y=a'x²+b'x+c'经过（0，c），（?

b

2a

，0），
∴

c′＝c a(? b 2a )2+b′(? b 2a )+c′＝0

，
∴

b2

4a

?

bb′

2a

+c′＝0，
∴b²-2bb'+4ac=0，
∵b²=2ac，
∴b²-2bb'+2b²=0，
∴3b²=2bb′，
∴3b=2b′，
∴b：b′=

2

3

；

（Ⅲ））∵抛物线与x轴有公共点，
∴对于方程3x²+2x+c=0，判别式△=4-12c≥0，
∴c≤

1

3

．
①当c=

1

3

时，由方程3x²+2x+

1

3

=0，
解得x₁=x₂=-

1

3

．此时抛物线为y=3x²+2x+

1

3

与x轴只有一个公共点（-

1

3

，0）；
②当c＜

1

3

时，
x₁=-1时，y₁=3-2+c=1+c；
x₂=1时，y₂=3+2+c=5+c；
由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=-

1

3

，
应有y₁≤0，且y₂＞0即1+c≤0，且5+c＞0．
解得：-5＜c≤-1．
综合①，②得c的取值范围是：c=

1

3

或-5＜c≤-1．