Question

设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值。证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵。

Answer 1

我证的是T^-1AT，你再调整一下字母吧~

证明：
设λ1，...，λs为A的所有不同的实特征根，且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似，
即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J，其中，
J1 λi 1
J2 λi
J= ............... Ji=................1
Jn 为Jordan标准型，而 λi ，i=1,2,...,s
由于λi都为实数，所以J为上三角形实矩阵。
又由QR分解原理，矩阵P可以分解为TS，其中T为正交矩阵，S为上三角形矩阵，则有
P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J，即T^(-1)AT=SJS^(-1)
由于S，J，S^(-1)均为上三角形矩阵，故结论成立。
证毕。

追问

看不懂。。。

Answer 2

Jordan标准型：http://baike.baidu.com/view/3087240.htm?fr=aladdin
QR分解：将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R，所以称为QR分解法
知道这些就可以看懂楼上答案了吧。

PS：你是南京大学13级的吗？