已知a＞0，f（x）=ax2-2x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线．（Ⅰ）求l的方程；

已知a＞0，f（x）=ax2-2x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个... 已知a＞0，f（x）=ax2-2x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值；（Ⅲ）证明对任意的a=n（n∈N*），函数y=f（x）总有单调递减区间，并求出f（x）单调递减区间的长度的取值范围．（区间[x1，x2]的长度=x2-x1）展开

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#热议# 空调使用不当可能引发哪些疾病？

Kyoya诺LZ2
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（Ⅰ）∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），且点P（0，f（0））为切点，
∴f（0）=1，
又f′(x)=2ax-2+

x+1

2ax2+(2a-2)x-1

x+1

，
∴切线的斜率k=f′（0）=-1，又切点P（0，1），
∴由点斜式可得，y-1=-1×（x-0），即x+y-1=0，
∴切线l的方程为x+y-1=0；
（Ⅱ）切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1有且只有一个实数解，
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），则h（x）=0有且只有一个实数解，
∵h（0）=0，
∴h（x）=0有一个解为x=0，
又h′(x)=2ax-1+

x+1

2ax2+(2a-1)x

x+1

2ax[x-(

-1)]

x+1

，
①a=

，h′(x)=

x+1

≥0(x＞-1)，h(x)在（-1，+∞）上单调递增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解，
∴a=

符合题意；
②0＜a＜

，h′(x)=0，x1=0，x2=