已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.(Ⅰ)求l的方程;
已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.(Ⅰ)求l的方程;(Ⅱ)若切线l与曲线y=f(x)有且只有一个...
已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.(Ⅰ)求l的方程;(Ⅱ)若切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求a的值;(Ⅲ)证明对任意的a=n(n∈N*),函数y=f(x)总有单调递减区间,并求出f(x)单调递减区间的长度的取值范围.(区间[x1,x2]的长度=x2-x1)
展开
1个回答
展开全部
(Ⅰ)∵f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),且点P(0,f(0))为切点,
∴f(0)=1,
又f′(x)=2ax-2+
=
,
∴切线的斜率k=f′(0)=-1,又切点P(0,1),
∴由点斜式可得,y-1=-1×(x-0),即x+y-1=0,
∴切线l的方程为x+y-1=0;
(Ⅱ)切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点等价于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1有且只有一个实数解,
令h(x)=ax2-x+ln(x+1),则h(x)=0有且只有一个实数解,
∵h(0)=0,
∴h(x)=0有一个解为x=0,
又h′(x)=2ax-1+
=
=
,
①a=
,h′(x)=
≥0(x>-1),h(x)在(-1,+∞)上单调递增,
∴x=0是方程h(x)=0的唯一解,
∴a=
符合题意;
②0<a<
,h′(x)=0,x1=0,x2=
-1>0,
列表如下:
∴h(
-1)<h(0)=0,h(
)=a×
-
+ln(
+1)>0,
∴方程h(x)=0在(
-1,+∞)上还有一解,
∴方程h(x)=0的解不唯一;
∴0<a<
不符合题意;
③当a>
,h′(x)=0,x1=
-1,x2=0,
列表如下:
∴f(0)=1,
又f′(x)=2ax-2+
1 |
x+1 |
2ax2+(2a-2)x-1 |
x+1 |
∴切线的斜率k=f′(0)=-1,又切点P(0,1),
∴由点斜式可得,y-1=-1×(x-0),即x+y-1=0,
∴切线l的方程为x+y-1=0;
(Ⅱ)切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点等价于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1有且只有一个实数解,
令h(x)=ax2-x+ln(x+1),则h(x)=0有且只有一个实数解,
∵h(0)=0,
∴h(x)=0有一个解为x=0,
又h′(x)=2ax-1+
1 |
x+1 |
2ax2+(2a-1)x |
x+1 |
2ax[x-(
| ||
x+1 |
①a=
1 |
2 |
x2 |
x+1 |
∴x=0是方程h(x)=0的唯一解,
∴a=
1 |
2 |
②0<a<
1 |
2 |
1 |
2a |
列表如下:
x | (-1,0) | 0 | (0,
|
| (
| ||||||
h′(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
h(x) | ↗ | 极大值0 | ↘ | 极小值 | ↗ |
1 |
2a |
1 |
a |
1 |
a2 |
1 |
a |
1 |
a |
∴方程h(x)=0在(
1 |
2a |
∴方程h(x)=0的解不唯一;
∴0<a<
1 |
2 |
③当a>
1 |
2 |
1 |
2a |
列表如下:
x | (-1,
|
为你推荐:
下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
- 个人、企业类侵权投诉
- 违法有害信息,请在下方选择后提交
类别
- 色情低俗
- 涉嫌违法犯罪
- 时政信息不实
- 垃圾广告
- 低质灌水
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。
说明
0/200
提交
取消