Question

请教一点关于求向量在规范正交基中的坐标公式的疑问

教材中给出定义：
若e1,e2,...,er是V中的一个规范正交基，那么V中任一向量a应能由e1,..,er线性表出，设表示式为 a=λ1e1+λ2e2+...+ λrer,
为求其中的系数 λi（i=1，...，r），可用ei^T(格式限制，ei的转置的意思）左乘上式，有(ei^T)a= λi(ei^T)ei= λi
即 λi=(ei^T)a=[a,ei]
这就是向量在规范正交基中的坐标公式

疑问：
按照向量的内积公式：[x,y]=(x^T)y,那么最后的公式中为什么不是 λi=[a,ei^T]或者 λi=[ei^T,a]呢？明明ei^T 跟ei是不相等的呀？
恳请高手能指点其中缘由，万分感谢O(∩_∩)O~

Answer 1

你的误区在于把向量运算，和向量表示在矩阵下的运算搞混了。。

对向量运算而言，ei^T 就是ei，准确的说，内积符号[x，y]里面不应该使用T，也就是转置，因为转置这个玩意是在矩阵下定义的，你如果给向量加了个转置，那么就意味着你把它当矩阵看了，
它接下来参与的运算就应该是矩阵运算了，而在纯碎的向量运算里，你转不转都是同一个向量，比如内积。

对矩阵运算而言，ei^T 不是ei，ei^T 一般情况下表示行向量（1*n的矩阵），ei表示列向量（n*1的矩阵）。

我们来看内积的公式：
[x,y]=(x^T)y

上式中[x，y]的结果是个数，(x^T)y的结果是个矩阵，为什么能够相等？
因为默认情况下我们将左边的向量x，y，在矩阵运算下都表示成列向量，因此转置后右边是个1*n的矩阵与n*1的矩阵的乘积，因此右边结果是个1*1的矩阵，我们“令”左边这个数和右边这个1*1的矩阵“相等”。

思考一下，如果你把左边的向量x，y，在矩阵运算下都表示成行向量，或者一个行向量，一个列向量，上面这个内积公式还成立么？
当然不成立，右边要么乘出来是n*n的矩阵，要么不满足矩阵相乘的条件。

所以 λi=(ei^T)a=[a,ei] ，当且仅当前面ei和a在矩阵下表示为列向量时是成立的，习惯上也是如此，但并非完全如此，也有把向量看成某个矩阵的行向量的情况，书写上会有区别（比如括号的位置就是 上 和 下，然后向量竖排写表示一个矩阵），具体问题具体分析。

而像λi=[a,ei^T]或者 λi=[ei^T,a]这样写有点不伦不类，加了转置就说明把向量表示成矩阵了，就应该参与矩阵运算，然而却把矩阵放在向量运算里做内积，那意思是ei^T这个矩阵又反过头来看成向量？在纯粹的向量运算里（不涉及矩阵的概念），不管你怎么转都是一个向量，ei^T=ei，因为向量运算里就没定义过转置。

所以对于上面的公式你非要加上转置的话，那么完全可以写成
λi=(ei^T)a=[a,ei] =[ei，a]=[a,ei^T]=[ei^T，a]

追问

是不是说当不按矩阵的运算规则进行运算时，行向量与列向量是相同的？没有本质的区别，只是表现形式的不同而已？所以在两个向量的运算中，ei^T与ei是相同的？

追答

是的，行向量与列向量只是你的某一个向量在矩阵下的表现形式，我还可以表现成任何形式，比如我令我的向量在矩阵下表示成该矩阵的主对角线。
之所以向量在矩阵下表现成不同形式，是出于不同的计算目的，是为了利用矩阵这个”工具“帮我们计算向量或得出性质，离开矩阵，回到向量运算里，它们就是单纯的向量。

你可以这么理解，向量的概念是独立于矩阵的，没有矩阵，或者你从来没定义过转置的概念，我一样算内积，无非就是把各分量对应相乘然后相加，但是有了矩阵这个”工具“，我就可以利用矩阵来帮我分析或计算向量了。

最典型的就是这个公式，[x,y]=(x^T)y

我居然可以利用矩阵的乘法来帮我计算 仅仅定义在向量下的 内积 运算了。。。

再比如向量组的等价，线性表示，线性相关，无关，极大无关组，向量组的秩等等纯粹的只存在于向量下的概念，我都可以利用矩阵这个“工具”帮我判定，或者求得结果。。。。我只需要把我的向量们按一定的规则摆成一个矩阵，然后做相应的矩阵运算就好。。。

Answer 2

e1,e2,...,er是V中的一个规范正交基，认为是一组列向量.

a是V中任意向量，必然也是列向量。

ei^T就是行向量。
向量内积的定义： 设有n维向量x=(x1,x2,...,xn)T，y=(y1,y2,...,yn)T（表示为列向量），
[x，y]=x1y1+x2y2+...+xnyn就定义为内积。
是两个列向量的表示。

λi=(ei^T)a，是矩阵乘法的表示，不是内积的定义。
ei^T是行向量，a是列向量，根据矩阵乘法运算，就是等于[a,ei]

内积有如下运算规律：
[a,ei]=[ei,a]

λi=[a,ei^T],ei^T是行向量，不满足上述内积的定义。

你的课本中应该采用的就是上述定义。为了使得写法满足定义，所以不能采用ei^T

newmanhero 2015年8月12日10:05:06

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 3