Question

抛物线z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最短距离和最长距离

数学一道题，请教了！

Answer 1

这个题目有很强的对称性，可先求出原点到椭圆所在平面的距离S和垂足E，由于 x+y+z=1在三个座标轴上的截距都是1，所以可以很快写出垂足的坐标E(1/3,1/3,1/3) S=sqrt(3)/3 sqrt表示根号，做图还可以看出椭圆中心点F(0,0,3) 根据对称性还可以得出D点在椭圆的对称轴上，椭圆的顶点可以用三个式子y=x(柱面)和z=x^2+y^2和x+y+z=1解方程得两组解即两个点，就可以算出长半轴的长，同理用三个式子y=-x和z=x^2+y^2和x+y+z=1算出短半轴，然后就根据以上所求数据求E点到椭圆的最长最短距离m,n，E点和椭圆在同一个平面上，这样就把空间一点到椭圆的距离转化为平面上点到椭圆的距离，最后原点到椭圆的最短最长距离M=sqrt(S^2+m^2) N=sqrt(S^2+n^2) 我用手机打的，过程你自己写吧！

Answer 2

椭圆方程为(x+1/2)^2+(y+1/2)^2-3/2 =0
引入拉格朗日函数：
F(x,y,λ)=x^2+y^2+λ[(x+1/2)^2+(y+1/2)^2-3/2 ]
求偏导：
Fx=2x+2λ(x+1/2)
Fy=2y+2λ(y+1/2)
Fλ=(x+1/2)^2+(y+1/2)^2-3/2
三个方程联立得，x^2=y^2=(2± √3)/2
由z=x^2+y^2得z=2± √3
所以
d=√（x^2+y^2+z^2）=√（9±5√3）
d(min）=√（9-5√3）
d(max）=√（9+5√3）