Question

求直线方程的问题

已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交
（2）求直线l被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程

Answer 1

（1）证明：
易知直线过定点A（3，1）, 圆心为C（1，2）,圆的半径R=5
所以 CA=√5，而圆的半径R=5>√5
所以 点A在圆C中，不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交 。证毕
(2)解:
要弦最短,只要圆心C到直线的距离最长。
∵直线过定点A（3，1）
直线是CA的垂线，且垂足为点A保证圆心C到直线的距离最长。
设CA所在直线方程为y=ax+b，则有：
2=a+b
1=3a+b 解得：
a=-1/2
b=5/2
CA所在直线方程为y=-1/2x+5/2
设此时的直线方程为y=a’x+b’
∵二直线垂直
∴a’=-1/a=2
又∵此时的直线也过定点A（3，1）
∴3=2+b’，求得：b’=-5
此时的直线方程y=2x-5
弦^2=4(半径^2-圆心到直线的距离^2)
=4*√5,
答：直线l被圆C截得的最短弦长4*√5及此时的直线方程y=2x-5 。

Answer 2

（1）证明：
直线过定点A（3，1） 圆心为O（1，2）
所以 AP=根号5，而圆的半径R=5>根号5
所以 不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交
(2)解:要直线l被圆C截得的弦最短,那么可以知道
弦^2=4(半径^2-圆心到直线的距离^2)
所以要弦最短,只要圆心到直线的距离最长,于是我们可以知道当
圆心到直线的距离=A0时,弦最短,
当此时最短弦长=4*根号5,
又弦的斜率=(2-1)/(1-3)=-1/2
所以 弦的斜率=2,且直线过定点A（3，1）
所以直线的方程是y=2x-5