Question

已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180，AB=BC。 （1）如图2，点P，Q分别在线段AD，DC上，满足PQ=AP+CQ

求证∠PBQ=90-1/2∠ADC
（2）如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出∠PBQ和∠ADC的数量关系，并给出证明过程。

Answer 1

(1)证明：延长DC，使QE=AP，连接BE
因为角ABC+角ADC=180度
角ABC+角BCD+角ADC+角BAD=360度
所以角BAD+角BCD=180度
因为角BCD=角BCE=180度
所以角BAD=角BCE
因为AB=BC
所以三角形ABP和三角形CBE全等（SAS)
所以角ABP=角CBE
BP=BE
因为PQ=AP+CQ
PE=CQ+QE=AP+CQ
所以PQ=PE
因为BP=BP
所以三角形BPQ和三角形BEQ全等（SSS)
所以角PBQ=角EBQ
因为角ABC=角ABP+角PBQ+角CBQ
角EBQ=角CBQ+角EBC=角ABP+角CBQ
所以角ABC=2角PBQ
因为角ABC+角ADC=180度
所以2角PBQ=180-角ADC
所以角PBQ=90-1/2角ADC
(2)上面结论不成立
角PBQ=90+1/2角ADC
证明：延长PA，使AF=CQ，连接BF
因为角BAD+角ABC+角BCD+角ADC=360度
角ABC+角ADC=180度
所以角BAD+角BCD=180度
因为角BCD+角BCQ=180度
所以角BAD=角BCQ
因为AB=BC
所以三角形ABF和三角形CBQ全等（SAS)
所以角ABF=角CBQ
BF=BQ
因为PQ=AP+CQ
PF=AP+AF=AP+CQ
所以PF=PQ
因为BP=BP
所以三角形PBF和三角形PBQ全等（SSS)
所以角PBQ=角PBF
因为角ABC=角ABF+角CBF
角FBQ=角CBF+角CBQ
所以角ABC=角FBQ
因为角PBF+角BPQ+角FBQ=360度
所以2角PBQ+角ABC=360度
因为角ABC+角ADC=180度
所以2角PBQ=180+角ADC
所以角PBQ=90+1/2角ADC