Question

线性变换的核与值域的特点和作用。

Answer 1

线性变换的值域与核都是V的子空间。AV的维数称为A的秩，A的维数称为A的零度。A V对于V的加法与数量乘法封闭。设σ为n维线性空间V的线性变换，则σ的秩十σ的零度=n，即dimσ(V)+ dimσ(O)=n。

虽然σ(V)与σ(0)的维数之和等于n，但是σ(V) +σ-0未必等于V。

设σ为n维线性空间V的线性变换，则

i ) σ是满射台σ(V)= V

ii )  σ是单射台σ-(0)= {0}

证明:  i)显然。

ii)因为σ(0)=0，若σ为单射，则σ‘(0)={0}。反之，若σ-(0)={0}，任取a、β∈V，若o(a)=o( B)，则σ(a- β)=σ(a)-σ(B)= 0。

扩展资料

矩阵乘以向量与线性变换的意义

矩阵乘的意义，其实就是将一个向量，经过某个函数（矩阵）之后，输出成为另外一个向量。或者说，变换就是意味着，将原来的向量运动（变换）到另一个地方。而线性变换，也就是在变换的基础上，再加一个条件，线性的，也就是原来的一条直线，在变换了之后还应该是直线。

矩阵A对向量的变换，其实是施加在其基底上的变换，而新的向量关于新的基底的线性组合,与原来的向量关于原来的基底的线性组合，是一样的。

参考资料来源：

百度百科——线性变换

Answer 2

通俗地讲，Ax=0
基础解系构成的线性空间，就是这个线性变换的核
而值域是Ax取遍所有向量x后的解集。

作用：
核，可以用来快速判断一个向量是否是线性方程组的解
而值域，可以用来快速判断，一个向量是否可以通过其他向量，通过该线性变换后得到