Question

y=1+xe^y的隐函数y=y(x)的导数

Answer 1

函数y=arctane^x求dy
y'=e^x/(1+e^2x)
dy=e^x
dx/(1+e^2x)
函数y=y(x)由方程x-y-e^y=0确定,求y'(0)
两边对x求导：1-y'-y'e^y=0
y'=1/(1+e^y)
x=0时，代入原方程，得：0-y-e^y=0,即e^y+y=0,此方程左边单调增，因此有唯一根y0,
故y'(0)=1/(1+e^y0)
求由方程y=1-xe^y确定隐函数
y的导数dy/dx
两边对x求导：y'=-e^y-xy'e^y
得：y'=-e^y/(1+xe^y)

Answer 2

求隐函数y=1-xe^y的导数
解一：dy/dx=-e^y-x(e^y)(dy/dx),(1+xe^y)(dy/dx)=-e^y,故dy/dx=-(e^y)/(1+xe^y)；
解二：作函数F(x,y)=y-1+xe^y≡0；则dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(e^y)/(1+xe^y)