Question

学长学姐，这个反三角函数怎么变成无穷型呢？它的最大值不是二分之π吗？

学长学姐，这个反三角函数怎么变成无穷型呢？它的最大值不是二分之π吗？这个题我想用洛必达法则去做，可是不知道老师是怎么把这个反正切变成无穷型的。。。

Answer 1

不是反正切市无穷，而是积分是无穷，然后用无穷型的洛必达法则，积分求导得到答案

追问

哥，为啥积分是无穷呢？可以给我来个详细过程吗？我基础差看不出来

追答

x趋于无穷，也就是积分上限趋于无穷，而内部函数，当t趋于无穷时，趋于常数，积分之后自然趋于无穷
严格证明：存在y，当t大于y时，arctan t>1（实际y可取π/4），于是原积分=∫（0，y）(arctan t)²dt+∫（y，x）(arctan t)²dt，后一积分>∫（y，x）1dt，当x趋于无穷时，后一积分趋于无穷

追问

哥，严格证明我没看懂，但是你上面说的那个意思我大概理解了，就是说在不同的x值下，有好多好多个反正切函数的和加起来对吗，所以是无穷的。

追答

嗯啊，就是当t大于π/4时，积分函数恒大于1，那么原积分肯定大于对1积分，我们知道对常数积分实际上就等于积分区间的长度，所以1乘以积分区间长得到1乘以（x-y），又因为x趋于无穷，所以此积分也趋于无穷
也就是说当x趋于无穷，那么相当于无数个1加起来，自然积分也就趋于无穷了

追问

哥，你好厉害啊，那个严格证明我看呆了，你是怎么自己推出来的，太厉害了吧。。。

我连看都看不懂，你尽然推了出来。。。