Question

圆锥曲线题求各位帮帮忙急用！！！！

Answer 1

(1)把坐标系向下平移3个单位,使坐标原点和P重合
由於平移不改变长度和角度,因此PA→·PB→=|PA||PB|cos∠APB=-4不变
平移後的抛物线方程为x²=4y,P(0,0),D(0,4)
设A(4a,4a²),B(4b,4b²),其中a,b都不为0,则AB方程:y=(a+b)x-4ab
PA→=(4a,4a²),PB→=(4b,4b²),所以
PA→·PB→=16ab+16a²b²=-4
得4(ab)²+4ab+1=0
(2ab+1)²=0
ab=-1/2
代入AB方程中得AB:y=(a+b)x+2,经过(0,2),不经过D(0,4)
(2)根据抛物线参数方程中参数的几何意义可知,a是直线PA的斜率,b是直线PB的斜率
PA中点为(2a,2a²),因此PA的中垂线方程为y=-x/a+2+2a²
同理可知PB中垂线方程为y=-x/b+2+2b²
联立,消去y,并把ab=-1/2代入得x=a+b
同理,消去x,得y=1+2(a²+b²),这就是M的横纵坐标
y-1=2(a²+b²)
2x²+2=2(a²+b²)
∴y=2x²+3是M的轨迹方程
在原坐标系中该方程为x²=1/2*y,其准线为y=-1/8,焦点F(0,1/8)
作MH⊥准线于H,与x轴交於L,连接MF
根据抛物线的定义,MF=MH=ML+LH=d+1/8,所以d=MF-1/8
所以MN-d=MN-MF+1/8≤FN+1/8=(√65+1)/8(这是三角不等式)
即MN-d的最大值为(√65+1)/8,当且仅当M,F,N共线时取等号