Question

用向量的知识证明三角形三条高线交与一点

Answer 1

设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。向量HA=向量a，向量HB=向量b，向量HC=向量c。
因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以向量HA·向量BC=0，向量HB·向量CA=0，
即向量a·(向量c-向量b)=0，
向量b·(向量a-向量c)=0，
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0
向量b·向量a-向量b·向量c=0
两式相加得
向量c·(向量a-向量b)=0
即向量HC·向量BA=0
故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。证毕。