Question

函数f(x)=-x^3+ax x(0 1】是否存在实数a使得x(0 1]时，f(x)的最大值为1

Answer 1

解：已知函数要在所给区间存在最大值，有两种情况：
　　一、存在某数0<x0<1，使函数在区间[x0,1]上单调增。即导数>0,，且f(1)=1，即a=1，
当a=1时，求导，f'=3x^2+a＝3x^2+1>0
故此时a=1满足条件。
　　二、在所给区间上仅取得极大值，即存在某数0<x1<1，使在(0,x1]上单调增，[x1,1]上单调减。且f(X1)=1
f'=3x^2+a
令f'=0
3x^2+a=0
a<0时，x=√(a/3)　因0<x<=1
f(√(a/3)=(a/3)^(3/2)+(a/3)^(3/2)=1
a=(1/4)^(1/3) 这与a<0矛盾，故此时无解。
综合有a=1