Question

已知函数,.当时,求函数的单调区间和极值;()若恒成立,求实数的值.

已知函数,. 当时,求函数的单调区间和极值; ()若恒成立,求实数的值.

Answer 1

()把代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数的符号得到函数的单调区间,进一步求得函数的极值;()求出函数的导函数,当时,由函数的单调性结合,可知不恒成立,当时,由函数的单调性求出函数的最小值,由最小值大于等于求得的值.
解:()注意到函数的定义域为,,当时,,若,则;若,则.是上的减函数,是上的增函数,故,故函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值.()由()知,当时,对恒成立,是上的增函数,注意到,时,不合题意.当时,若,;若,.是上的减函数,是上的增函数,故只需.令,,当时,;当时,.是上的增函数,是上的减函数.故当且仅当时等号成立.当且仅当时,成立,即为所求.
本题考查了函数恒成立问题,考查了数学转化思想方法和函数构造法,训练了利用函数的导函数判断函数的单调性,训练了利用导数求函数的最值,是有一定难度题目.