Question

高手帮忙：等比数列的一个充要条件

设p,q,r,s 是满足条件 p+q=m+n的任意正整数，则对各项不为0的数列{an} , apaq=aman 是数列{an}是等比数列的充要条件吗？

Answer 1

是的！关键是【任意】二字！
你的题目抄错了，应该是
设p,q,【m,n】
是满足条件
p+q=m+n的任意正整数，则对各项不为0的数列{an}
,
apaq=aman
是数列{an}是等比数列的充要条件吗？
因为p,q,m,n
是满足条件
p+q=m+n的【任意】正整数，取：p=k，q=m=k+1，n=k+2。
那么【apaq=aman】
→【a(k+1)/a(k)=a(k+2)/a(k+1)】，
→
数列{an}是等比数列。
反之，数列{an}是等比数列，p+q=m+n的【任意】正整数，
a(p)*a(q)
=[a(1)*r^(p-1)]*[a(1)*r^(q-1)]
=[a(1)]^2*r^(p+q-2)
=[a(1)]^2*r^(m+n-2)
=[a(1)*r^(m-1)]*[a(1)*r^(n-1)]
=a(m)*a(n).