Question

已知不定积分xf(x^2)dx=xe^x

不定积分
已知∫xf(x^2)dx=xe^x+c,则f(x)=__.
求解过程中令x^2=t时要考虑x=±根号t吗?

Answer 1

∫ xƒ(x²) dx = xe^x + C,先两边求导消除C
xƒ(x²) = xe^x + e^x = (x + 1)e^x
ƒ(x²) = (x + 1)/x * e^x,令x² = t,则x = ± √t
ƒ(t) = (1 + √t)/√t * e^√t 或 (1 - √t)/(- √t) * e^(- √t)
第一个结果很明显符合原式,现在说说第二个结果：
若ƒ(x) = (√x - 1)/√x * e^(- √x)
则ƒ(x²) = (x - 1)/x * e^(- x)
∫ xƒ(x²) dx = ∫ (x - 1)e^(- x) dx = - xe^(- x) + C',明显不等于xe^x + C
所以只有第一个结果才符合.