Question

y’-2xy＝xe^（-x2）

Answer 1

先求这个微分方程的特征方程的解：
y' = dy/dx = 2xy
dy/y = 2xdx
方程两边同时积分，得到：
∫dy/y = ∫2xdx
lny = x² + c
所以，y = e^c * e^(x²) = Y * e^(x²)
当 Y 也是 x 的函数时，则有：
y' = dy/dx
= dY/dx * e^(x²) + Y * e^(x²) * (2x)
= dY/dx * e^(x²) + 2xY * e^(x²)
把这个结果代入原来的微分方程，得到：
dY/dx * e^(x²) + 2xY * e^(x²) - 2xY * e^(x²) = x * e^(-x²)
所以：
dY/dx = x * e^(-2x²)
那么，
dY = x * e^(-2x²) * dx = -1/4 * e^(-2x²) * d(-2x²)
方程两边同时积分，得到：
Y = -1/4 * e^(-2x²) + C
那么，得到方程的解为：
y = -1/4 * e^(-x²) + C * e^(-2x²)

Answer 2

p(x) =-2x
∫p(x) dx = -x^2 +C
e^[∫p(x) dx] = e^(-x^2)
y'-2xy＝xe^(-x^2)
两边乘以 e^(-x^2)
e^(-x^2) .[y'-2xy]＝xe^(-2x^2)
d/dx [ e^(-x^2) .y] =xe^(-2x^2)
e^(-x^2) .y =∫ xe^(-2x^2) dx
=-(1/4)e^(-2x^2) + C
y= -(1/4)e^(-x^2) + C. e^(x^2)