Question

2^n+1为质数吗?

Answer 1

具体回答如下：

根据题意，假设n不是2的方幂，则含有奇约数p，设n=pm。

可计算：

2^n+1=（2^m+1）【2^【m（p-1）】-2^【m（p-2）】+2^【m（p-3）】+2^【m(p-p）】】

2^m+1>2+1=3>1

也就是：2^【m（p-1）】-2^【m（p-2）】+2^【m（p-3）】+2^【m（p-p）】的最后一项为1。

则2^n+1可分解成两个大于1的数的乘积，所以2^n+1不是质数，矛盾，所以是2的方幂。

素数的性质如下：

如果为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立，也就是说，素数有无穷多个。

Answer 2

2^n+1 不一定为质数。

只要举出正反例子就可以说明了。

n=2 时，2^2+1=5，是质数；

n=3 时，2^3+1=10，是合数。

Answer 3

楼上的证明有误。
2^n+1 可以是合数，也可以是质数。
举几个例子：
2^1+1 = 2+1 = 3，是质数；
2^2+1 = 4+1 = 5，是质数；
2^3+1 = 8+1 = 9 = 3*3，是合数；
2^4+1 = 16+1 = 17，是质数；
2^5+1 = 32+1 = 33 = 3*11，是合数；
2^6+1 = 64+1 = 65 = 5*13，是合数。