Question

信号与系统问题 求解答

Answer 1

为了计算离散信号x[n]的奇部和偶部，我们首先需要了解离散信号的奇偶性质。
离散信号x[n]可以分解为偶部x_e[n]和奇部x_o[n]，其中：
x_e[n] = 0.5 * (x[n] + x[-n])
x_o[n] = 0.5 * (x[n] - x[-n])
现在我们来看给定的信号x[n]：
x[n] = 3σ[n] + 3σ[n-1] + 3σ[n-2] + 3σ[n-3]
为了计算x_e[n]和x_o[n]，我们需要找到x[-n]：
x[-n] = 3σ[-n] + 3σ[-n+1] + 3σ[-n+2] + 3σ[-n+3]
由于单位阶跃信号σ[-n] = 0，我们可以将x[-n]重新写为：
x[-n] = 0 + 3σ[-n+1] + 3σ[-n+2] + 3σ[-n+3]
接下来我们计算x_e[n]：
x_e[n] = 0.5 * (x[n] + x[-n]) = 0.5 * (3σ[n] + 3σ[n-1] + 3σ[n-2] + 3σ[n-3] + 3σ[-n+1] + 3σ[-n+2] + 3σ[-n+3])
我们可以看到x_e[n]的形式与x[n]类似，但包含正和负的时间索引。因此，x_e[n] = 1.5σ[n] + 1.5σ[n-1] + 1.5σ[n-2] + 1.5σ[n-3] - 1.5σ[-n+1] - 1.5σ[-n+2] - 1.5σ[-n+3]。
现在我们计算x_o[n]：
x_o[n] = 0.5 * (x[n] - x[-n]) = 0.5 * (3σ[n] + 3σ[n-1] + 3σ[n-2] + 3σ[n-3] - 3σ[-n+1] - 3σ[-n+2] - 3σ[-n+3])
所以，x_o[n] = 1.5σ[n] + 1.5σ[n-1] + 1.5σ[n-2] + 1.5σ[n-3] + 1.5σ[-n+1] + 1.5σ[-n+2] + 1.5σ[-n+3]。
综上所述，x[n]的奇部x_o[n]和偶部x_e[n]分别为：
x_e[n] = 1.5σ[n] + 1.5σ[n-1] + 1.5σ[n-2] + 1.5σ[n-3] - 1.5σ[-n+1] - 1.5σ[-n+2] - 1.5σ[-n+3]
x_o[n] = 1.5