Question

高中数学基本不等式应用题

某房地产开发公司用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1000平米的楼房，楼房的的每平米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高20元。已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？

Answer 1

购地费用很显然是100万元，关键是求建筑费用
根据等差数列的性质，因为第五层是400元，公差为20，所以首项为400-20*（5-1）=320，则第一层费用为32万元，第二层为34万元，用等差数列求和公式表示总建筑费用32n+1/2*n(n-1)*2=n^2+31n,
则平均值为(100+n^2+31n)/n=31+100/n+n,用基本不等式解100/n+n大于等于2*10=20，所以当且仅当n=100/n时，即n=10时，有最小值，为31+20=51
则应建10层
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Answer 2

公司应把楼层建成10层.

设楼层建成x层,总综合费为y元,每平方米的平均综合费为S元,
底层每平方米建筑费用为400-4*20=320元,
y=1000*320+1000*(320+20)+...+1000*(320+20(x-1))+1000000
=1000*(320x+(20+2*20+...+20(x-1)))+1000000
=1000*(320x+20(1+2+...+(x-1)))+1000000
=1000*(320x+10x(x-1))=10000*(x^2+31x))+1000000
S=y/(1000x)=10(x+31)+1000/x=310+10x+1000/x
当10x=1000/x时S最小,此时x=10
故公司应把楼层建成10层.

Answer 3

设截成500mm的为x个，600mm的为y个。x、y都为正整数，且x<4000/500=8,
y<4000/600<7.
由题得：500x+600y=4000

x/y>1/3

解得：x>40/23

可知x最小为2

x=2时，y=5

x=3时，y=25/6

x=4时，y=10/3

x=5时，y=5/2

x=7时，y=5/6
由以上可得当x=2，y=5时最合适