Question

涉及到使用零点定理的一道高数证明题，大家来帮忙看看

设f(x)在[a,b]上连续，f(a)=f(b),证明，存在Xo属于(a,b),使得f(Xo)=f(Xo+(b-a)/2)

Answer 1

\(^o^)/~复杂哦

Answer 2

证明：设＝f(x)－f(x+(b-a)/2)，x∈[a,(a+b)/2] 显然连续。
则只需证存在一个Xo，使得F(Xo)=0.
因为F(a)＝f(a)－f((a+b)/2)
F((a+b)/2)＝f((a+b)/2)－f(b)＝f((a+b)/2)－f(a)

所以（1）若F(a)＝0，则F(b)＝0.由F(x)连续知，在x∈(a,b)上存在x0满足结论；

（2）若F((a+b)/2)＝0，取x0＝(a+b)/2即可；
（3）若F(a)≠0，F((a+b)/2)≠0，则F(a)×F((a+b)/2)＜0，由零点存在定理，知存在x0∈(a,(a+b)/2)，使得F(x0)＝0，即f(x0)＝f(x0+(b-a)/2)

综上所述，一定存在x0∈(a,b)，使得f(x0)＝f(x0+(b-a)/2) F(x)