Question

求线性方程组如何用矩阵解例子？

Answer 1

方程组
x+y=3
x-y=1
写成矩阵是
[1 1][x] [3]
[1 -1][y] = [1]
矩阵
[1 1]
[1 -1]
的逆是
[0.5 0.5]
[0.5 -0.5]
所以解是
[0.5 0.5][1 1][x] [0.5 0.5][3]
[0.5 -0.5][1 -1][y] = [0.5 -0.5][1]
即
[1 0][x] [2]
[0 1][y] = [1]
结果
x=2
y=1

追问

逆是//为什么药用逆的？
[0.5 0.5]
[0.5 -0.5]
所以解是

追答

你不是要用矩阵解吗？要矩阵解就不可避免要用逆矩阵了。
就好比解一元一次方程：ax=b
就要用a的逆运算1/a去乘方程两边就可以得到：x=b/a
这样就用乘法运算（b乘以a的逆1/a）得到方程的解了。
线性方程组实际上就是一元一次矩阵方程：Ax=b
所以解方程的数学思想是一样的：都是一元一次方程。
不同的只是：A是矩阵不是数，x是未知列向量不是一个未知量，b是已知列向量不是一个已知数
只要你算出A的逆A^-1（因为矩阵乘法不能交换，所以不可以写成1/A）
同样是乘以方程两边（不同的是只能左乘，不可右乘）就得到：x=(A^-1)b
这样就用矩阵乘法运算（逆矩阵A^-1乘以列矢量b）得到矩阵程的解了。
你提的问题是不是想要这样的类比呢？
实际上矩阵也有平方、开平方、矩阵指数对数级数……矩阵函数
只是我们日常生活没有那么多东西来构成矩阵
而科学、工程就有大量的矩阵了

追问

[1 0][x] [2]
[0 1][y] = [1]
结果
x=2
y=1
大哥，你这步 [1,0]与[2]要进行矩阵乘法运算吗？
[0,1] [1]

追答

是要进行矩阵乘法运算的
就是用矩阵
[1 1]
[1 -1]
的逆矩阵
[0.5 0.5]
[0.5 -0.5]
去左乘
[1 1][x] [3]
[1 -1][y] = [1]
的两边就得到解
[x] [2]
[y] = [1]

追问

[0.5 0.5]
[0.5 -0.5]
去左乘那个矩阵呀？大哥