Question

已知f(x)=aln(x-1), g(x)=x^2+bx , F(x)=f(x+1)-g(x),当b=a-2时, 若x1,x2是F(x)的

已知f(x)=aln(x-1), g(x)=x^2+bx , F(x)=f(x+1)-g(x),当b=a-2时, 若x1,x2是F(x)的两个极值点，当|x1 - x2 |>1 时，求证|F(x1 ) - F(x2 )| > 3-4ln2.

Answer 1

f(x)=aln(x-1),g(x)=x^2+(a-2)x,
F(x)=alnx-[x^2+(a-2)x],x>0,
F'(x)=a/x-(2x+a-2)=-[2x^2+(a-2)x-a]/x=-(x-1)(2x+a)/x=0,
x1=1,x2=-a/2,
x1,x2是F(x)的两个极值点，当|x1 - x2 |>1 时，a<0,|1+a/2|>1,
∴1+a/2<-1,a<-4,
∴|F(x1 ) - F(x2 )| =|F(1)-F(-a/2)|
=|(-a^2+4)/4-aln(-a/2)|
设g(a)=(a^2-4)/4+aln(-a/2)(a<-4),
则g'(a)=a/2+ln(-a/2)-2<0,g(a)是a的减函数，g(a)>g(-4)=3-4ln2,
∴命题成立。