Question

如图，已知AC平行于BD，EA，EB分别平分角CAB和角DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。

如图，已知AC平行于BD，EA，EB分别平分角CAB和角DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。

Answer 1

解：法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF

在△ACE和△AFE中
  AC=AF，∠1=∠2，AE=AE

∴△ACE≌△AFE（SAS）
∴∠5=∠C
∵AC∥BD
∴∠C+∠D=180°
∵∠5+∠6=180°
∴∠6=∠D
在△EFB和△BDE中
∠6=∠D，∠3=∠4，BE=BE

∴△EFB≌△EDB（AAS）
∴FB=DB
∴AC+BD=AF+FB=AB ；

法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F

∵AC∥BD
∴∠F=∠4
∵∠3=∠4
∴∠F=∠3
在△AEF和△AEB中
∠F=∠3，∠1=∠2，AE=AE

∴△AEF≌△AEB（AAS）
∴AB=AF，BE=FE
在△BED和△FEC中
∠5=∠6，BE=BE，∠4=∠F

∴△BED≌△FEC（ASA）
∴BD=FC
∴AB=AF=AC+CF=AC+BD。