Question

数学 近世代数

证明:复数域Q(i)的自同构只有两个。 证明:模3的剩余类群作为加群有两个自同构,作为域只有一个自同构。
电灯剑客就是咸蛋超人。

Answer 1

首先注意，Q(i)不是复数域，只是一个子域，复数域的自同构可能有很多（取决于选择公理）。
如果想界定自同构的个数，最基本的得知道恒等映射是自同构，然后只要找非恒等的映射就行了。

先证明Q的自同构只有恒等映射，因为f(0)=0，f(1)=1，然后对正整数m，n，
f(mx)=f(x)+...+f(x)=mf(x)，可以推出f(m)=mf(1)=m，
再由f(1)=f(n/n)=nf(1/n)得到f(1/n)=1/n，所以f(m/n)=m/n，
最后x>0时f(-x)=f(0)-f(x)=-x。

如果f是Q(i)的自同构，那么按上面的讨论f限制在Q上必须是自同构，既然如此，-1=f(-1)=f(i)f(i)，可得f(i)=i或者f(i)=-i，f由f(1)和f(i)唯一确定，所以只有两个解（恒等映射和复共轭）。

另一题不讲了，你完全可以自己做，连这种题拿出来问属于不动脑筋。