Question

近世代数

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Answer 1

5、因为(ab)^n=a(ba)^na^-1,即ab和ba是共轭元，故同阶
也可设o(ab)=n，o(ba)=m,则由(ab)^n=a(ba)^na^-1可看出，因为(ab)^n=e,则(ba)^n=e,所以m整除n
同理由(ba)^m=e可推出(ab)^m=e,所以n整除m，只有m=n，即o(ab)=o(ba)
证毕！
6、设群H为循环群G=<a>的任一子群，则H的生成元不能多于G，所以H至多有一个生成元，所以H必为循环群。
7、首先，子群的交仍是子群，所以H∩N是H的子群，下证正规性
任给x∈H∩N，h∈H，只需证明hxh-1∈H∩N即可
因为x∈N，N是G的正规子群，所以hxh-1∈N
因为x∈H，H是G的子群，所以hxh-1∈H，即hxh-1∈H∩N，故H∩N是H的正规子群
8、直接验证即可，事实上G同构于Z2+Z2
其他自己做了