Question

已知14(a方+b方+c方)=(a+2b+3c)方，试求a:b:c.

Answer 1

14a²+14b²+14c²=a²+4b²+9c²+4ab+12bc+6ac
∴ 13a²+10b²+5c²-4ab-12bc-6ac=0
∴ (4a²-4ab+b²)+(9b²-12bc+4c²)+(9a²-6ac+c²)=0
∴ (2a-b)²+(3b-2c)²+(3a-c)²=0
∴ b=2a，c=3a
∴ a:b:c=1:2:3

也可以采用所谓“柯西不等式”
14(a²+b²+c²)=(1²+2²+3²)(a²+b²+c²)≥(1·a+2·b+3·c)²=(a+2b+3c)²
等号当且仅当：
a:1=b:2=c:3
即a:b:c=1:2:3
时成立。
∴ a:b:c=1:2:3

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Answer 2

14（a^2+b^2+c^2）=(a+2b+3c)^2
14a^2+14b^2+14c^2）=a^2+4b^2+9c^2+4ab+12bc+6ac
13a^2+10b^2+5c^2-4ab-12bc-6ac=0
(2a-b)^2+(3b-2c)^2+(3a-c)^2=0
2a=b,a/b=1/2
3b=2c,b/c=2/3
3a=c,a/c=1/3
故a:b:c=1:2:3