Question

如图，直线y=kx+b与椭圆x^2/4+y^2=1，交于A、B两点，记△AOB的面积为S。 (1

)求在k=0，0<b<1的条件下，S的最大值.
(2)当绝对值AB=2，S=1时，求直线AB的方程

Answer 1

1、k=0,y=b,刚好是平行于x轴的直线，AOB为等腰三角形，高为b,底边长为2x，面积为S=xb
而x^2/4+b^2=1,则x=2√(1-b^2)
S=4b√(1-b^2)
两边平方S^2=4b^2(1-b^2)
令b^2=R,
有S^2=4R(1-R)=-4R^2+4R
这是抛物线
当R=-4/[2*(-4)]=1/2时，
S^2取得最大值-4^2/[4(-4)]=1，则S的最大值为1

参考：

1.
k=0时,y=b,交于A,B两点,知道A,B关于y轴对称。所以
S=|AB|*|b|/2=|x1*y1|, x1 和y1为A的坐标。
因为A在椭圆x^2/4＋y^2=1上，且x^2/4+y^2=1>=2(|x|/2)*|y|
所以|x1*y1|<＝1
所以S的最大值是1

2.
知道o到直线的距离是2*S/|AB|=1
所以得到|b|/根号下（k^2+1）=1
联立直线y=kx+b与椭圆x^2/4+y^2=1的方程，得到
（4*k^2+1）x^2+8kbx+4(b^2-1)=0,设它的根是x1和x2
|AB|=[根号（k^2+1)]*|x1-x2|
其中|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4*x1x2
=[8kb/(4*k^2+1)]^2-4*[4(b^2-1)/（4*k^2+1）]
所以|AB|=1=[根号（k^2+1)]*|x1-x2|=...

再加上|b|/根号下（k^2+1）=1这个关系

2个关系。两个未知数。可以得到答案

追问

AOB为等腰三角形？、、从哪儿看出来？