Question

对于二重积分或者三重积分，被积函数是含有f(x,y,z)的表达式，而给出的积分区域条件中有f(x,

对于二重积分或者三重积分，被积函数是含有f(x,y,z)的表达式，而给出的积分区域条件中有f(x,y,z)=a这一条件，那么什么时候被积函数中的f(x,y,z)可以用a换掉呢？

Answer 1

对于重积分，什么时候都不可以!

因为重积分的区域Ω是整个空间，用方程F(x，y，z) ≤ R表示

对于球体Ω：x^2 + y^2 + z^2 ≤ R^2

∫∫∫Ω (x^2 + y^2 + z^2) dV ≠ ∫∫∫Ω R^2 dV

而是 = ∫∫∫ r^2 (r^2sinφ) drdφdθ

对于曲线和曲面积分，只要在该积分曲线曲面上，就可以直接代入

因为曲线曲面积分都是建立在曲线/曲面上，用方程F(x，y，z) = R表示

对于球面Σ：x^2 + y^2 + z^2 = R^2

∫∫Σ (x^2 + y^2 + z^2) dS = ∫∫Σ R^2 dS

追问

那在三重积分时常用到那个轮换对称性，那用这个对称性的时候，即对被积的x^2换成1/3(x^2+y^2+z^2)，假如条件是给的 x^2+y^2+z^2=a内部，也不能代换了吗？

追答

能用轮换对称因为∫∫∫ x^2 dV = ∫∫∫ y^2 dV = ∫∫∫ z^2 dV而Ω关于直线x = y = z对称
且被积函数中的x或y或z互换后被积函数不变
就有∫∫∫ x^2 dV = (1/3)∫∫∫ (x^2 + y^2 + z^2) dV
若方程在球体内部也能用，只要符合上面条件的话

追问

好吧，跪谢大神！！！

麻烦再问一下，那如果运用高斯公式将第二类曲面积分化为三重积分以后，比如是在x^2+y^2+z^2=a^2的外侧，原积分式子化为被积函数为x^2+y^2+z^2的三重积分，此时能不能换？

追答

还是那规则，用高斯公式之前可以代入，用了后就不能
而且曲面积分(旋度)是向量，三重积分(散度)是标量

追问

哦哦，谢大神