Question

已知a1=2,点(an,an+1)在函数F(x)=x2+2x的图像上，其中n=1,2,3...

已知a1=2,点(an,an+1)在函数F(x)=x2+2x的图像上，其中n=1,2,3... (2)设Tn=(1+a1)(1+a2)...(1+an),求Tn及数
列{an}的通
(3)记bn=1/an+1/an+1，求数列{bn}的前项
和sn，并证明sn+2/3Tn-1=1

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知an+1=an2+2an，∴an+1+1=（an+1）2∵a1=2∴an+1＞1，两边取对数得lg（1+an+1）=2lg（1+an），即lg(1+an+1)lg(1+an)＝2∴{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg（1+an）=2n-1•lg（1+a1）=2n−1•lg3＝lg32n−1∴1+an＝32n−1∴an＝32n−1−1∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）=320•321•322••32n−1=31+2+22++2n−1=32n−1（Ⅲ）∵an+1=an2+2an∴an+1=an（an+2）∴1an+1＝12(1an−1an+2)∴1an+2＝1an−2an+1又bn＝1an+1an+2∴bn＝2(1an−1an+1)∴Sn=b1+b2++bn=2(1a1−1a2+1a2−1a3++1an−1an+1)=2(1a1−1an+1)∵an＝32n−1−1，a1＝2，an+1＝32n−1∴Sn＝1−232n−1又Tn＝32n−1∴Sn+23Tn−1＝1．

追答

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Answer 2

已知a1=2,点(an,an+1)在函数F(x)=x2+2x的图像上，其中n=1,2,3... (2)设Tn=(1+a1)(1+a2)...(1+an),求Tn及数列{an}的通(3)记bn=1/an+1/an+1，求数列{bn}的前项和sn，并证明sn+2/3Tn-1=1