Question

有关高数的问题

书上说，f（x）如果连续，则f（x）的变上限积分可导；如果f（x）可积（即f（x）存在有限个间断点且f（x）在积分区间有界），则f（x）的变上限积分连续。
那请问，是不是只要f（x）存在间断点，则其变上限积分就一定不可导？还是说如果f（x）存在的间断点是第一类间断点的话，则其变上限积分就可导？请高手指点，谢谢
是不是应该说如果f（x）存在间断点，那么f（x）的变上限积分不一定不可导，例如：分段函数f（x）=e^（x^2）+x^2，（x≠0）；f（x）=0 ，（x=0），可知f（x）存在可去间断点x=0，可是f（x）的变上限积分处处可导，是不是有这个结论：如果f（x）存在第一类可去间断点，则f（x）的变上限积分可导？

Answer 1

f(x)在间断点的处一定不可导，所以函数f(x)在间断点的两侧不存在导数故不可导。
连续就是不存在间断点，第一类间断点也不例外

请使用追问功能……
第一类可去间断点只是说左右极限相等，不一定等于该点的函数值本身，所以只存在第一类可去间断点不能保证函数是连续的。

追问

我问的不是f（x）在间断点是否可导，是f（x）的变上限积分在间断点是否可导，麻烦再给看看。

追答

变上限积分的可导条件是函数连续，连续的条件是在每一点上左极限等于右极限等于函数值。第一类可去间断点不能保证函数连续，不连续所以变上限积分是不可导的。

追问

不是吧，如果f（x）存在有限个间断点且有界，则其变上限积分是连续的，所以也就不一定不可导。

追答

1. 连续函数不一定可导，但函数可导则一定是连续的。书上有说的自己翻。

2. 我跟你说的是不连续的函数的变上限积分，即便这个积分连续也是不可导的，不然就跟前面的那句话没有区别了。