设二维随机变量(X,Y)在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形上均匀分布，求E(X
由题设条件，(X,Y)所在区域D={(x,y)丨0<x<1、1-x<y<1}。其面积SD=1/2。
按照二维均匀分布的定义，(X,Y)的联合分布密度f(x,y)=1/SD=2，(x,y)∈D、f(x,y)=0，(x,y)∉D。
又，X、Y的边缘分布密度函数分别为，fX(x)=∫(1-x,1)f(x,y)dy=2x，0<x<1；fX(x)=0，x为其它。fY(y)=∫(1-y,1)f(x,y)dx=2y，0<y<1；fY(y=0，y为其它。
∴E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=2/3，E(X²)=∫(0,1)x²fX(x)dx=1/2。∴D(X)=1/2-(2/3)²=1/18。同理，E(Y)=2/3，E(Y²)=1/2。∴D(Y)=1/18。
而，E(XY)=∫(0,1)dx∫(1-x,1)xyf(x,y)=∫(0,1)x(2x-x²)dx=5/12。∴Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/36。
∴D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=1/18。
例如：
D(x)=Ex²-(Ex)²
均匀分布，概率密度是面积的倒数：f(x,y)=1/s=2
f(x)=∫du(1-x,1)f(x,y)dy=∫(1-x,1)2dy=2x
Ex=∫(0,1)xf(x)dx=2∫(0,1)x²dx=2/3
Ex²=∫(0,1)x²f(x)dx=2∫(0,1)x^3dx=1/2
D(x)=Ex²-(Ex)²=1/2-4/9=1/18
扩展资料：
在做实验时，常常是相对于试验结果本身而言，我们主要还是对结果的某些函数感兴趣。例如，在掷骰子时，我们常常关心的是两颗骰子的点和数，而并不真正关心其实际结果，就是说，我们关心的也许是其点和数为7，而并不关心其实际结果是否是（1，6）或（2，5）或（3，4）或（4，3）或（5，2）或（6，1）。我们关注的这些量，或者更形式的说，这些定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量。
参考资料来源：百度百科-随机变量
