Question

已知函数f(x)＝4x?2x+1(x≠?1，x∈R)，数列{an}满足 a1=a（a≠-1，a∈R），an+1＝f(an)(n∈N*)．（1）若

已知函数f(x)＝4x?2x+1(x≠?1，x∈R)，数列{an}满足 a1=a（a≠-1，a∈R），an+1＝f(an)(n∈N*)．（1）若数列{an}是常数列，求a的值；（2）当a1=4时，记bn＝an?2an?1(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列，并求limn→∞an．

Answer 1

解答：（1）解：∵f(x)＝

4x?2

x+1

，a1＝a，an+1＝f(an)(n∈N*)，数列{a_n}是常数列，
∴a_n+1=a_n=a，即a＝

4a?2

a+1

，解得a=2，或a=1．
∴所求实数a的值是1或2．
（2）证明：∵a1＝4，bn＝

an?2

an?1

(n∈N*)，
∴b1＝

2

3

，bn+1＝

an+1?2

an+1?1

＝

4an?2 an+1 ?2

4an?2 an+1 ?1

＝

2

3

an?2

an?1

，
即bn+1＝

2

3

bn(n∈N*)．
∴数列{b_n}是以b1＝

2

3

为首项，公比为q＝

2

3

的等比数列，
于是bn＝

2

3

(

2

3

)n?1＝(

2

3

)n(n∈N*)．
由bn＝

an?2

an?1

，即

an?2

an?1

＝(

2

3

)n，
解得an＝

( 2 3 )n?2

( 2 3 )n?1

(n∈N*)．
∴

lim

n→∞

an＝2．