Question

根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； &n...

根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□ 2 -○ 2 ”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

Answer 1

（1）11×29=20 2 -9 2 ；12×28=20 2 -8 2 ；13×27=20 2 -7 2 ； 14×26=20 2 -6 2 ；15×25=20 2 -5 2 ；16×24=20 2 -4 2 ； 17×23=20 2 -3 2 ；18×22=20 2 -2 2 ；19×21=20 2 -1 2 ； 20×20=20 2 -0 2     …（4分） 例如，11×29；假设11×29=□ 2 -○ 2 ， 因为□ 2 -○ 2 =（□+○）（□-○）； 所以，可以令□-○=11，□+○=29． 解得，□=20，○=9．故11×29=20 2 -9 2 ． （或11×29=（20-9）（20+9）=20 2 -9 2 （2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20 （3）①若a+b=40，a，b是自然数，则ab≤20 2 =400． ②若a+b=40，则ab≤20 2 =400．     …（8分） ③若a+b=m，a，b是自然数，则ab≤ ( m 2 ) 2 ． ④若a+b=m，则ab≤ ( m 2 ) 2 ． ⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为 ( a+b 2 ) 2 ． ⑥若a 1 +b 1 =a 2 +b 2 =a 3 +b 3 =…=a n +b n =40．且 |a 1 -b 1 |≥|a 2 -b 2 |≥|a 3 -b 3 |≥…≥|a n -b n |， 则 a 1 b 1 ≤a 2 b 2 ≤a 3 b 3 ≤…≤a n b n ．       …（10分） ⑦若a 1 +b 1 =a 2 +b 2 =a 3 +b 3 =…=a n +b n =m．且 |a 1 -b 1 |≥|a 2 -b 2 |≥|a 3 -b 3 |≥…≥|a n -b n |， 则a 1 b 1 ≤a 2 b 2 ≤a 3 b 3 ≤…≤a n b n ． ⑧若a+b=m， a，b差的绝对值越大，则它们的积就越小． 说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2分）； 给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．