Question

从地面上以初速度v 0 竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运

从地面上以初速度v 0 竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t 1 时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v 1 ，且落地前球已经做匀速运动．求： （1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）球抛出瞬间的加速度大小；（3）球上升的最大高度H．

Answer 1

（1）由动能定理得 W f = 1 2 m v 1 2 - 1 2 m v 0 2 克服空气阻力做功 W=- W f = 1 2 m v 0 2 - 1 2 m v 1 2 （2）空气阻力f=kv 落地前匀速运动，则mg-kv 1 =0 刚抛出时加速度大小为a 0 ，则 mg+kv 0 =ma 0 解得 a 0 =(1+ v 0 v 1 )g （3）上升时加速度为a，-（mg+kv）=ma a=-g- k m v 取极短△t时间，速度变化△v，有： △v=a△t=-g△t- k m v△t 又v△t=△h 上升全程 ∑△v=0- v 0 =-g∑△t- k m ∑△h 则 v 0 =g t 1 + k m H H= ( v 0 -g t 1 ) v 1 g 答：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功为 1 2 m v 0 2 - 1 2 m v 1 2 ； （2）球抛出瞬间的加速度大小为 (1+ v 0 v 1 )g ； （3）球上升的最大高度H为 ( v 0 -g t 1 ) v 1 g ．