Question

如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，OE⊥BC，垂足为F，且与⊙O相交于点E，连接CE、AE，延长OE到点D，使∠ODB=

如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，OE⊥BC，垂足为F，且与⊙O相交于点E，连接CE、AE，延长OE到点D，使∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若cosD=45，BC=8，求AB的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵∠AEC与∠ABC都对

AC

，
∴∠AEC=∠ABC，
∵∠ODB=∠AEC，
∴∠ABC=∠ODB，
在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
则BD是圆O的切线；
（2）解：∵OE⊥BC，
∴BF=CF=

1

2

BC=4，
∵∠ODB=∠ABC，
∴cosD=cos∠ABC=

4

5

，
在Rt△OBF中，cos∠ABC=

BF

OB

，
∴OB=

4

4 5

=5，
则AB=20B=10．