Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

(1)证明：见解析；(2)点A到平面PBC的距离等于 ．

本题考查线面平行，线面垂直，线线垂直，考查点到面的距离，解题的关键是掌握线面平行，线面垂直的判定方法，利用等体积转化求点面距离 （1）利用线面垂直证明线线垂直，即证BC⊥平面PCD； （2）利用等体积转化求点A到平面PBC的距离． (1)证明：∵ PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴ PD⊥BC． 由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．又PD∩DC＝D，PD，DC 平面PCD， ∴ BC⊥平面PCD．∵ PC 平面PCD， 故PC⊥BC．-------------------4分 (2)解：(方法一)分别取AB，PC的中点E，F，连DE，DF， 则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等． 又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍，由(1)知，BC⊥平面PCD， ∴平面PBC⊥平面PCD． ∵ PD＝DC，PF＝FC，∴ DF⊥PC． 又 ∴ 平面PBC∩平面PCD＝PC，∴ DF⊥平面PBC于F． 易知DF＝ ，故点A到平面PBC的距离等于 ．--12分 (方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h． ∵ AB∥DC，∠BCD＝90°，∴ ∠ABC＝90°． 由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S △ABC ＝1． 由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积 V＝ S △ ABC ·PD＝ ．∵ PD⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，∴ PD⊥DC． 又 ∴ PD＝DC＝1，∴ PC＝ ＝ ． 由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S △PBC ＝ ． ∵ V A - PBC ＝V P - ABC ，∴ S △PBC ·h＝V＝ ， 得h＝ ． 故点A到平面PBC的距离等于 ．----------12分