Question

在边长为2的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E是BC的中点，F是DD 1 的中点．（1）求证：CF ∥ 平面A 1 DE

在边长为2的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E是BC的中点，F是DD 1 的中点．（1）求证：CF ∥ 平面A 1 DE；（2）求点A到平面A 1 DE的距离．

Answer 1

解 分别以DA，DC，DD 1 为x轴，y轴，z轴建立空间直角 坐标系，则A（2，0，0），A 1 （2，0，2），E（1，2，0）， D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），则 DA 1 =（2，0，2）， DE =（1，2，0） 设平面A 1 DE的法向量是 n =(a，b，c) 则 n ? DA 1 =2a+2c=0 n ? DE =a+2b=0 ， n =(-2，1，2) （1） CF =(0，-2，1) ， ∴ CF ? n =-2+2=0 ，∴ CF ⊥ n ， 所以，CF ∥ 平面A 1 DE． （2）点A到平面A 1 DE的距离是 d= | DA ? n | | n | = 4 3 ． 点A到平面A 1 DE的距离 4 3 ．