Question

已知直线l：y=3x+3．（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；（2）求直线l1：x-y-2=0关于直线l的

已知直线l：y=3x+3．（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；（2）求直线l1：x-y-2=0关于直线l的对称直线l2的方程；（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．

Answer 1

（1）设点P的对称点为P'（a，b），
则

b?3 a?5 ?3＝?1 b+3 2 ＝3? a+5 2 +3

，解得：

a＝?4 b＝6

，
即点P'的坐标为（-4，6）；
（2）解方程组

x?y?2＝0 3x?y+3＝0

得

x＝? 5 2 y＝? 9 2

，
即两直线l与l的交点坐标为(?

5

2

，?

9

2

)
因为直线l与l₂关于直线l对称，所以直线l₂必过点(?

5

2

，?

9

2

)，
又由（1）可知，点P（5，3）恰好在直线l上，且其关于直线l的对称点为P'（-4，6），
所以直线l₂必过点P'（-4，6），这样由两点式可得：

y+ 9 2

6+ 9 2

＝

x+ 5 2

?4+ 5 2

，
即7x+y+22=0；
（3）由（1）得P'（-4，6），连接P'M，交直线l于N，连接NP，
则|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小，
设出N（x，3x+3），则由P'，M，N共线，可得，

6?6

?4?2

＝

3x+3?6

x?2

，解得，x=1，
则可得N（1，6）．