Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心I

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有IG＝λF1F2（其中λ为实数）（1）求椭圆C的离心率e；（2）过焦点F2的直线l与椭圆C相交于点M、N，若△F1MN面积的最大值为3，求椭圆C的方程．

Answer 1

（1）设P（x₀，y₀），c＝

a2?b2

，则有：G(

x0

3

，

y0

3

)，I的纵坐标为

y0

3

，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2＝

1

2

?|F1F2|?|y0|＝

1

2

(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)|

y0

3

|
?2c?3＝2a+2c?a＝2c?e＝

c

a

＝

1

2

（2）由（1）可设椭圆C的方程为：

x2

4c2

+

y2

3c2

＝1(c＞0)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线MN的方程为：x＝my+c，代入

x2

4c2

+

y2

3c2

＝1
可得：3（my+c）²+4y²=12c²?（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0
∴y1+y2＝?

6mc

4+3m2

，y1y2＝?

9c2

4+3m2

∴S△F1MN＝

1

2

?|F1F2