Question

怎样判断微分方程的线性与非线性

Answer 1

对于线性微分方程，其中只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算，例如：siny、cosy、tany、lny、lgx、y²、y³。

若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。

扩展资料

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

参考资料百度百科-线性微分方程

Answer 2

常微分方程及偏微分方程都可以分为线性微分方程及非线性微分方程二类。

若  是  的一次有理式，则称方程  为n阶线性方程，否则即为非线性微分方程。

一般的，n阶线性方程具有形式：

其中，

 均为x的已知函数。

若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。

扩展资料：

以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。

非齐次一阶常系数线性微分方程：

齐次二阶线性微分方程：

非齐次一阶非线性微分方程：

参考资料：百度百科——微分方程的线性及非线性

Answer 3

区别线性微分方程和非线性微分方程如下：

1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。如y'=2xy。

2.非线性，就是除了线性的。如y'=2xy^2。

扩展资料

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

参考资料：百度百科-微分方程

Answer 4

对于一阶微分方程,形如:

y'+p(x)y+q(x)=0的称为"线性"

例如:

y'=sin(x)y是线性的

但y'=y^2不是线性的

注意两点:

(1)y'前的系数不能含y,但可以含x,如:

y*y'=2 不是线性的

x*y'=2 是线性的

(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:

y'=sin(x)y 是线性的

y'=sin(y)y 是非线性的

(3)整个方程中,只能出现y和y',不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:

y'=y 是线性的y'=y^2 是非线性的

扩展资料：

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程 [2]  。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。

一般的n阶常微分方程具有形式：

其中  是  的已知函数，并且必含有  。

偏微分方程（PDE）是指微分方程的自变量有两个或以上，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。

最常见的二阶椭圆方程为调和方程：  。

Answer 5

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y'+R(x)y=S(x) （其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）
无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。
例如y'y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y'-y)=0，即y=0或者y'-y=0，因为y和y'都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。
再如(sinx)y'-y=0，因为y'和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y'的系数是sinx，因此是变系数常微分方程。
再如y'y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y'和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。
再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。